自己破産しても代表取締役になれる？

なれます。

前はダメだった？

旧商法（2006年の会社法施行前）ではダメでしたが、現在は問題ありません。

代表就任期間中に自己破産してしまったらどうなる？

会社は問題ないなかで、なんらかの理由で代表個人のみが自己破産となった場合はどうなるのでしょうか？

その場合は一旦は代表取締役を退任となりますが、自己破産開始決定後すぐにでも再び選任されれば問題なく元通り代表に就任できます。